چرا انتظار می رود واگرایی حلقه صفر باشد؟

من در حال خواندن اثبات قضیه تجزیه هلمولتز بودم که در آنجا رابطه بین چرخشی و زمینه های غیرمتعارف را پیدا کردم متقارن نیستند. منظور من این است که اگر قرار است واگرایی از میدان شیب صفر باشد به جز جایی که ذرات وجود دارد: $ $ nabla cdot nabla (1/r) = delta^3 ( bf r) $ $ سپسچرا واگرایی حلقه همیشه صفر است؟$ $ nabla cdot nabla times bf a = 0 $ $ و نه: $ $ nabla cdot nabla times bf a = delta^3 ( bf c) $ $ که $ bf c$ یک بردار با سرعت نور است. ویرایش: این سؤال در مورد عدم تقارن زمینه های بالقوه الکترومغناطیسی است و من نمی دانم که چرا به انجمن ریاضی مهاجرت شده است. به هر حال ، اگر ریاضیدانان بتوانند این سؤال را ببینند ، سوال من این است: فرض کنید یک قسمت بردار $ f = nabla (1/r)+ nabla times bf a $ ساخته شده از پتانسیل مقیاس 1/r $ و یک بردار وجود دارد. بالقوه $ bf a $ که در آن این روابط وجود دارد: $ $ nabla cdot nabla (1/r) = delta^3 ( bf r) $ $ و: $ $ nabla cdot nabla بارها bfa = delta^3 ( bf c) $ $ بنابراین هر دو زمینه بالقوه دارای نقاط مهم هستند ، با توجه به اینکه $ bf f $ باید به اندازه کافی صاف باشد ، آیا هنوز هم می توانیم قضیه تجزیه هلمولتز را اعمال کنیم؟

• برق گرایی
• نظریه
• مزارع بردار

استناد کردن دنبال کردن مارتین اسپینوزا از 5 نوامبر 2020 ساعت 7:25 پرسید مارتین اسپینوزا مارتین اسپینوزا 97 1 1 نشان نقره 5 5 نشان برنز $ endgroup $

$ begingroup $ من از سوال شما بسیار گیج شده ام: چرا فکر می کنید رابطه ای که برای شیب نگه داشته می شود باید به طور خودکار برای یک حلقه نگه داشته شود؟به خصوص هنگامی که رابطه اول (واگرایی شیب 1/R $ $) فقط برای یک عملکرد ویژه (1 دلار/R $ () صادق است و دوم یک قضیه کلی است که به راحتی می توان از نظر ریاضی اثبات کرد؟ریاضی$ در آخرین معادله شما؟$ endgroup $

5 نوامبر 2020 در 7:31

$ begingroup $ philip من منظور من از c اضافه کردم. من به دنبال آن کارکردهای خاص A و 1/R هستم که با الکترومغناطیسی مطابقت دارد.$ endgroup $

5 نوامبر 2020 در 7:36

$ begingroup $ اگر من دیوانه ام ، من را تصحیح می کند ، اما با داشتن یک بزرگی غیر صفر ، می توان گفت که آخرین معادله شما صحیح است زیرا $ delta^3 ( bf c) $ 0 $ خواهد بود. منظور من این است که حتی اگر صحیح باشد ، نوشتن آن از این طریق چیست؟استفاده از عملکرد دلتا ثابت غیر صفر معنی ندارد. شما می دانید جواب $ endgroup $

5 نوامبر 2020 در ساعت 13:34

$ begingroup $ jim شما آن را گرفتید. این حرف من است. من فکر می کنم که این دو ممکن است همیشه برابر نباشند و ما باید صریحاً آن را در نظر بگیریم. بنابراین ، من به دنبال یک فیزیکدان بودم تا به من نشان دهد که چرا همیشه از عملکرد دلتا غافل می شویم. حدس من این است که داشتن برخی از نقاط مهم برای قسمت بردار ، A ، آن را از یک مقدار فیزیکی مانند سرعت به انتزاع ریاضی آن پایین می آورد ، که به تئوری سنج پایان می یابد که در آنجا باید به طور ضمنی آن نکات مهم را حذف کنیم. منظور من این است که من مطمئن نیستم که آیا قضیه تجزیه هلمولتز به طور کلی برای الکترومغناطیسی کاربرد دارد.$ endgroup $

5 نوامبر 2020 در 15:16

4 پاسخ 4

مرتب شده توسط: تنظیم مجدد به طور پیش فرض $ begingroup $

اینکه واگرایی یک حلقه صفر است و اینکه حلقه یک گرادیان صفر است هویت های ریاضی دقیقی است که با نوشتن این عملیات به صراحت از نظر مؤلفه ها و مشتقات قابل اثبات است.

از طرف دیگر ، یک لاپلاسی (واگرایی شیب) یک عملکرد لزوما صفر نیست. معادل کردن آن با یک بار یا منبع دیگر ، موضوع تفسیر فیزیکی خاص است که فراتر از ریاضیات خالص است.

استناد کردن دنبال کردن در 5 نوامبر 2020 در 8:12 پاسخ داد راجر وادیم راجر وادیم 586 2 2 نشان نقره 10 10 نشان برنز $ endgroup $

$ begingroup $ متشکرم. دقیقاً به همین دلیل است که من این سؤال را در اینجا در مورد مبادله فیزیک پشته نه ریاضی پرسیدم. چیزی که من نمی فهمم این است که در طول 1800s کواترنیونی که توسط همیلتون برای توصیف چرخش ایجاد شده است ، اما هلمولتز تجزیه قضیه فیزیکدانان را به سمت ترک کواترنیون ها و تقسیم مزارع به سمت چرخشی و غیرمتعارف رهبری می کند ، با وجود اینکه ممکن است نکات مهمی در یک زمینه داشته باشیم. آنچه من به دنبال آن هستم ، قسمت "فراتر از ریاضی خالص" است که فیزیکدانان از نکات مهم غافل می شوند و سنج را تعریف می کنند.$ endgroup $

5 نوامبر 2020 در 8:43

$ begingroup $ من مطمئن نیستم که زمینه را کاملاً درک می کنم. فرمولاسیون کواترنیون به ویژه در مهندسی هنوز در حال استفاده است. این از مشخصات زاویه ای کاملاً مبهم در روباتیک گرفته تا برخی توصیفات عملکرد جدی سبز از راهنماهای موج ، همانطور که توسط شووینجر انجام شده است. اما این تا آنجا است که دانش من از موضوع پیش می رود.$ endgroup $

5 نوامبر 2020 در 8:48

$ begingroup $ vadim quateions استفاده می شد که در حال حاضر از تجزیه و تحلیل بردار استفاده می شود. برای معادلات ماکسول ، برای جریان سیال و غیره. بعد از گیبس و هوییزید ، استفاده از آنها تا حد زیادی کاهش یافت.$ endgroup $

6 نوامبر 2020 در 7:30

$ begingroup $ martinspinoza آیا شما می گویید که می دانید چه اتفاقی می افتد وقتی که واگرایی مجاری اجازه داده می شود nonzero شود؟$ endgroup $

6 نوامبر 2020 در 11:20

$ begingroup $ hai! من می خواستم یک چیز را در سایت زیست شناسی بگویم. من آخرین پاسخ شما را دوست داشتم و می خواستم از آن بالا ببرد. اما نمی توانستممن به دلیل داشتن نظر به حالت تعلیق درآمده ام. بنابراین ، فقط برای اطلاعات شما+1 $ endgroup $

24 ژوئیه 2021 در 6:36 $ begingroup $

این یک سوال خوب است و پاسخ در سوء استفاده از نماد $ nabla $ نهفته است ، و به همین دلیل است که دوست دارم $ operatoame را بنویسم<mathbf>، Operatoame<mathbf>، operatoame $ به جای $ nabla ، nabla times ، nabla cdot $ ، resp. که هر دو $ operatoame operatoame<mathbf> Mathbf = 0 $ و $ ampatoame<mathbf> نام تجاری<mathbf>f = 0 $ نگه داشتن برای دلخواه $ f ، mathbf $ scalar یا بردار ، به ترتیب ، چیزی نیست جز برابری مشتقات جزئی مختلط $ frac<partial^2><partial x partial y>= frac<partial^2> <partial y partial x>$ همانطور که با نوشتن آنها در مؤلفه ها به راحتی مشاهده می شود. اما این بدان معنی است که نه $ nabla cdot nabla quav 0 $ و نه $ nabla times nabla equiv bf $ برای چنین اپراتور مکرر تعریف نشده است.$ nabla $ یک بردار نیست و نه عمود بر آن است و نه به هیچ وجه موازی با خود است.

فرمولاسیون آنالیز بردار با استفاده از فرم های دیفرانسیل (بیرونی) وجود دارد که در آن یک اپراتور تمایز معرفی می شود که همانطور که می خواهید $ nabla $ رفتار کنید عمل می کند. این می تواند $ Operatoame را جایگزین کند<mathbf>, operatoame>، operatoame $ با یک اپراتور واحد و همچنین می تواند به طور مکرر با نتیجه ای که انتظار دارید بر اساس استدلال خود عمل کنید. اشکال دیفرانسیل تعمیم طبیعی تجزیه و تحلیل بردار (از جمله محصول بردار) برای فضای بالاتر از 3 بعدی است ، و تلاش هایی برای جایگزینی و آموزش کلیه تجزیه و تحلیل بردار از جمله مورد سه بعدی وجود دارد. می توانید چیزهای زیادی در مورد این موضوع در اینجا در Phys. stack پیدا کنید.

استناد کردن دنبال کردن در 5 نوامبر 2020 در ساعت 13:20 پاسخ داد Hyportnex Hyportnex 636 6 6 نشان نقره 13 13 نشان برنز $ endgroup $

$ begingroup $ nabla ممکن است یک بردار نباشد ، اما درمان آن به عنوان یک بردار ، همانطور که نشان داده شده است ، یک اندازه بسیار مفید برای دستکاری است. در گیبس و ویلسون (1901) ، بدون اینکه به یک سیستم مختصات خاص به مؤلفه ها متوسل شوند (و خطر اینکه نتیجه فقط در این سیستم باشد).$ endgroup $

5 نوامبر 2020 در 17:43

$ begingroup $ vladimirf من فکر می کنم آنچه در اینجا منظور شده است این است که تجزیه و تحلیل بردار درجه ، حلقه و div را به عنوان اشکال محدود کننده کلی تعریف می کند. تفسیر آنها از نظر $ nabla $ یک میانبر مفید است ، اما این همان چیزی نیست که آنها واقعاً معنی دارند.$ endgroup $

6 نوامبر 2020 در 6:23

$ begingroup $ hmm ، من توجه داشته باشم که شما نوشتید "$ operatoame<mathbf> نام تجاری<mathbf>f = 0 $ برای f دلخواه "، و نه" $ ampatoame<mathbf> نام تجاری<mathbf>= 0 $ "(بدون F) مانند شما با" $ nabla times nabla equiv bf $ "انجام دادید.$ برای دلخواه f "؟ (نوار هرگونه اشتباه قالب بندی من) $ endgroup $

6 نوامبر 2020 در 11:47

$ begingroup $ ikkachu بله ، نوشتن $ nabla times nabla f = 0 $ برای همه $ f $ $ endGroup $ صحیح است